novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.25.111-120novtexmech-1513Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, CONTROL AND INFORMATION PROCESSINGРасширенная задача оптимального управления и численный метод ее решенияAdvanced Optimal Control Problem and Numerical Method for its SolvingДивеевА. И.DiveevA. I.

д-р техн. наук, проф., гл. науч. сотр.

Москва

Dr. Sc., Professor, Chief Researcher

Moscow

aidiveev@mail.ruФедеральный исследовательский центр "Информатика и управление" Российской академии наукРоссияFederal Research Center "Computer Science and Control" of the Russian Academy of Sciences, FRC CS RASRussian Federation202405032024253111120Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20242024Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/1513

Приведена расширенная постановка задачи оптимального управления. Отличие расширенной постановки задачи от классической состоит в том, что модель объекта управления состоит из двух подсистем — эталонной модели, которая генерирует оптимальную траекторию движения, и динамической модели объекта управления с системой стабилизации движения вдоль оптимальной траектории. В задаче необходимо найти программную функцию управления, аргументом которой является время, и функцию системы стабилизации, аргументом которой является отклонение вектора состояния объекта управления от оптимальной программной траектории. В задаче задано множество начальных условий, одно из которых используется для поиска программного управления, а остальные — для поиска системы стабилизации. Критерий качества управления определяется как сумма исходного критерия качества для всех заданных начальных условий. Приведена методика преобразования классической постановки задачи оптимального управления к расширенной постановке на основе уточнения задачи в целях ее практической реализации. Для решения расширенной задачи оптимального управления предложен универсальный численный метод на основе кусочнолинейной аппроксимации функции управления с использованием эволюционных алгоритмов и методов символьной регрессии для структурно-параметрической оптимизации функции системы стабилизации. Приведен пример решения расширенной задачи оптимального управления квадрокоптером, который должен провести рекогносцировку заданной территории за минимальной время, для пространственного движения.

The advanced statement of the optimal control problem is presented. The difference between the extended setting of the problem and the classical one is that the model of the control object consists of two subsystems, a reference model, which generates an optimal motion path and a dynamic model of the control object with a system for stabilizing movement along the optimal trajectory. In the problem, it is necessary to find a program control function whose argument is time and a stabilization system function whose argument is the deviation of the state vector of the control object from the optimal program trajectory. The task has many initial conditions, one of which is used in the search for software control, and the rest for the search for a stabilization system. The control quality criterion is defined as the sum of the original quality criterion for all specified initial conditions. The procedure for trans forming the classical setting of the optimal control problem to an extended setting based on the refinement of the problem for its practical implementation is presented. To solve the extended optimal control problem, a universal numerical method is proposed based on a piecemeal linear approximation of the control function using evolutionary algorithms and symbol regression methods for structurally parametric optimization of the stabilization system function. An example of solving an extended optimal control problem for spatial motion by a quadcopter, which should conduct reconnaissance of a given territory in a minimum time, is given.

задача оптимального управлениязадача синтеза управлениясистема стабилизациипрограммная траекторияэволюционные вычислениясимвольная регрессияoptimal control problemcontrol synthesis problemstabilization systemprogram trajectoryevolutionary calculationssymbolic regressionРабота выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда, проект № 23-29-00339.The work was supported by a grant from the Russian Science Foundation, project No. 23-29-00339.ReferencesПонтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. Главное издание физико-математической литературы, 1983. 392 с.Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. The Mathematical Theory of Optimal Process, New York, NY, USA; London, UK; Paris, France; Montreux, Switzerland; Tokyo, Japan, Gordon and Breach Science Publishers, 1985, 360 p.Дивеев А. И. Уточнение задачи оптимального управления для практической реализации ее решения // Доклады РАН. Математика, информатика и процессы управления. 2023. Т. 509. С. 36—45.Diveev A. I. Refinement of Optimal Control Problem for Practical Implementation of Its Solution, Doklady. Mathematics, 2023, no. 107, pp. 28—36.Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука. Главное издание физико-математической литературы, 1969. 408 с.Boltyanskii V. G. Matematicheskiye metody optimal’nogo upravleniya, Moscow, Nauka. 1969, 408 p. (in Russian).Diveev A. I., Shmalko E. Yu. Machine Learning Control by Symbolic Regression. Springer: Cham, Switzerland, 2021. 155 p.Diveev A. I., Shmalko E. Yu. Machine Learning Control by Symbolic Regression, Cham, Switzerland, Springer, 2021, 155 p.Дивеев А. И. Численный метод сетевого оператора для синтеза системы управления с неопределенными начальными значениями // Известия РАН. Теория и системы управления. 2012. Т. 51, № 2. С. 63—78.Diveev A. I. A Numerical Method for Network Operator for Synthesis of a Control System with Uncertain Initial Values, Journal of Computer and Systems Sciences International, 2012, vol. 51, no. 2, pp. 228—243.Duriez T., Brunton S. L. Noack B. R. Machine Learning Control-Taming Nonlinear Dynamics and Turbulence. Switzerland: Springer International Publishing, 2017.Duriez T. Brunton S. L., Noack B. R. Machine Learning Control -Taming Nonlinear Dynamics and Turbulence, Switzerland, Springer International Publishing, 2017.Колесников А. А., Колесников Ал. А., Кузьменко А. А. Методы АКАР и АКОР в задачах синтеза нелинейных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. Т. 17, № 10. С. 657—669.Kolesnikov A. A., Kolesnikov A. A., Kuz’menko A. A. The ADAR Method and Theory of Optimal Control in the Problems of Synthesis of Nonlinear Control Systems, Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2016, vol. 17, no. 10, pp. 657—669 (In Russian).Колесников А. А., Колесников Ал. А., Кузьменко А. А. Методы АКАР и бэкстеппинг в задачах синтеза нелинейных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. Т. 17, № 7. С. 435—445.Kolesnikov A. A., Kolesnikov A. A., Kuz’menko A. A. Backstepping and ADAR Method in the Problems of Synthesis of the Nonlinear Control Systems, Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2016, vol. 17, no. 7, pp. 435—445 (In Russian).Nguyen A. T., Xuan-Mung N., Hong S-K. Quadcopter Adaptive Trajectory Tracking Control: A New Approach via Backstepping Technique // Appl. Sci. 2019. N. 3873. P. 1—17.Nguyen A. T., Xuan-Mung N., Hong S-K. Quadcopter Adaptive Trajectory Tracking Control: A New Approach via Backstepping Technique, Appl. Sci., 2019, no. 3873, pp. 1—17.Саймон Д. Алгоритмы эволюционной оптимизации. Алгоритмы. М.: ДМК Пресс, 2020. 940 с.Saymon D. Evolutionary Optimization Algorithms: biologically-Inspired and population-based approaches to computer intelligence, Hoboken, New Jersey, John Willey & Sons Inc., 2013, 742 p.Diveev A. Hybrid Evolutionary Algorithm for Optimal Control Problem Intelligent Systems and Applications. IntelliSys 2022. Arai K., Ed. // Lecture Notes in Networks and Systems. Springer: Cham, Switzerland, 2023. Vol. 543. P. 726—738.Diveev A. Hybrid Evolutionary Algorithm for Optimal Control Problem, Intelligent Systems and Applications. IntelliSys 2022, Arai K., Ed., Lecture Notes in Networks and Systems, Springer, Cham, Switzerland, 2023, vol. 543, pp. 726—738.Davis L. Handbook of Genetic Algorithms. New York: Van Nostrand Reinhold, 1991.Davis L. Handbook of Genetic Algorithms, New York, NY, USA, Van Nostrand Reinhold, 1991.Kennedy J., Eberhart R. Particle swarm optimization // Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks. Perth, Australia, 27 November — 1 December 1995. Vol. IV. P. 1942—1948.Kennedy J., Eberhart R. Particle swarm optimization, Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks, Perth, Australia, 27 November — 1 December 1995, vol. IV, pp. 1942—1948.Mirjalili S., Mirjalili S. M., Lewis A. Grey Wolf Optimizer // Adv. Eng. Softw. 2014. N. 69. P. 46—61.Mirjalili S., Mirjalili, S. M., Lewis A. Grey Wolf Optimizer, Adv. Eng. Softw., 2014, no. 69, pp. 46—61.Samir A., Hammad A., Hafez A., Mansour H. Quadcopter Trajectory Tracking Control using State-Feedback Control with Integral Action // Int. J. Comput. Appl. 2017. N. 168. P. 1—7.Samir, A.; Hammad, A.; Hafez, A.; Mansour, H. Quadcopter Trajectory Tracking Control using State-Feedback Control with Integral Action, Int. J. Comput. Appl., 2017, no. 168, pp. 1—7.Walsh G., Tilbury D.,Sastry S., Murray R., Laumond J. P. Stabilization of Trajectories for Systems with Nonholonomic Constraints // IEEE Trans. Autom. Control. 1994. N. 39. P. 216—222.Walsh G., Tilbury D., Sastry S., Murray R., Laumond J. P. Stabilization of Trajectories for Systems with Nonholonomic Constraints, IEEE Trans. Autom. Control, 1994, 39, pp. 216—222.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.