novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.25.31-42novtexmech-1487Research ArticleДИНАМИКА, БАЛЛИСТИКА И УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВDYNAMICS, BALLISTICS AND CONTROL OF AIRCRAFTМатематическая модель динамики полета ударного снаряда как элемент его цифрового двойникаMathematical Model of Impact Projectile Flight Dynamics as an Element of its Digital TwinПоповА. М.PopovA. M.

А. М. Попов, д-р техн. наук, проф., гл. науч. сотр. предприятия,

Москва.

A. M. Popov, 

Moscow.

aproximandra@mail.ruМужичекС. М.MuzhichekS. M.

С. М. Мужичек, д-р техн. наук, проф., уч. секретарь предприятия,

Москва.

S. M. Muzhichek, 

Moscow.

msm19@yandex.ruКорзунМ. А.KorzunM. A.

М. А. Корзун, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., нач. лаб., 

Москва.

M. A. Korzun, 

Moscow.

efanov55@mail.ruМасловаЛ. А.MaslovaL. A.

Л. А. Маслова, инженер,

Москва.

L. A. Maslova, 

Moscow.

maslova@gosniias.ruСавенкоА. К.SavenkoA. K.

А. К. Савенко, инженер, 

Москва.

A. K. Savenko, 

Moscow.

sav.anna@gosniias.ruХрулинС. В.KhrulinS. V.

С. В. Хрулин, вед. инженер, 

Москва.

S. V. Khrulin,  Lead Engineer,

Moscow.

burgoam@mail.ruСкрынниковА. А.SkrynnikovA. A.

А. А. Скрынников, начальник сектора, 

Москва.

A. A. Skrynnikov, 

Moscow.

a1260@mail.ruФГБУН "ИМАШ РАН"РоссияMechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences (IMASH RAN)Russian FederationФАУ "ГосНИИАС"РоссияState Research Institute of Aviation Systems (GosNIIAS)Russian FederationФГУП "ЦНИИХМ"РоссияCentral Research Institute of Chemistry and MechanicsRussian Federation2024100120242513142Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20242024Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/1487

Проанализированы структура и характеристики математической модели динамики полета ударного снаряда, предназначенной для использования в качестве одного из элементов его цифрового двойника. Основу модели составляют дифференциальные уравнения движения гиростабилизированного твердого тела с осесимметричным распределением массы. Выбраны угловые переменные для описания аэродинамики и формирования уравнений движения ударного снаряда. Предложены нелинейные (по углу нутации) зависимости для аэродинамических коэффициентов, построенные на использовании апробированных научных положений и методов исследования в аэродинамике тел вращения, а также на сравнении с известными численными и экспериментальными результатами, полученными во внешней баллистике гиростабилизированных авиационных и артиллерийских снарядов. Рассмотрены особенности задания начальных условий для углов и угловых скоростей. Поскольку ударный снаряд рассматривается как тело вращения, то угол собственного вращения не представляет практического интереса. С помощью алгебраических преобразований дифференциальное уравнение для этого угла исключено из системы уравнений, что позволило значительно снизить степень жесткости оставшейся системы дифференциальных уравнений. В качестве метода численного интегрирования рекомендован метод Дормана—Принса 8-го порядка (с оценкой погрешности по формуле 7-го порядка), позволяющий получить решение системы дифференциальных уравнений движения ударного снаряда с высокой точностью при относительно небольших вычислительных затратах для различных условий стрельбы. Модель позволяет рассчитывать траектории ударного снаряда в широком диапазоне изменения начальных условий, в том числе полет с большими траекторными углами нутации вплоть до 87...89°. В результате появляется возможность определить характер взаимодействия штатных ударных снарядов с типовыми объектами поражения (рикошет, поверхностное действие, запреградное действие) в широком диапазоне изменения углов подхода к поверхности (обшивке) целевого объекта, недостижимых в натурных испытаниях. Возможность решения подобных задач позволяет рекомендовать построенную модель в качестве одного из элементов цифрового двойника ударного снаряда, предназначенного для отработки вопросов его внешней баллистики на цифровом (виртуальном) полигоне. Все тестовые расчеты и окончательное моделирование проводились в математическом программном пакете с открытым кодом "GNU Octave".

This paper gives the analysis of the structure and characteristics of the mathematical model of the impact projectile’s flight dynamics. The model is designed for being used as an element of the projectile’s digital twin. The model is based on differential motion equations of a gyro-stabilized solid with an axisymmetric mass distribution. Different types of angle variables were chosen for describing aerodynamics and formulating equations of motion. Non-linear (considering the nutation angle) dependences for aerodynamic coefficients are proposed. They are created by applying proven scientific concepts and research methods in aerodynamics of axisymmetric body and by comparing with known numerical and experimental results obtained in exterior ballistics of gyro-stabilized aviation and artillery projectiles. Special aspects of initial conditions for angles and angular velocity were also studied. Since the impact projectile is considered as an axially symmetric body, its self-rotation angle is not of practical inte rest. Using algebraic manipulations, the differential equation for this angle was eliminated from the set of equations. This has made it possible to significantly reduce stiff of the remaining system of differential equations. The Dormand-Prince method is recommended as a method of numerical integration. The method of the eight-order (with seventh-order uncertainty estimate) allows getting the high accurate solution of the differential equations set under relatively small computing costs. The model allows computing the projectile trajectory under various initial conditions, including the flight with high nutation angles up to 87°—89°. As a result, there is a possibility to determine the nature of the interaction between impact projectiles and typical targets (ricochet, surface effect, after-penetration effect) within a wide range of approach angles to the target’s surface (skin) unattainable during the full-scale tests. The possibility of solving similar problems allows to recommend the designed model as an element of the impact projectile’s digital twin intended for testing its exterior ballistics on the digital (virtual) test range. All testing calculations and final modeling were made by using the "GNU Octave" computational software package.

цифровой двойникматематическая модельгиростабилизированный снарядаэродинамические характеристикичисленные методыdigital twinmathematical modelgyro-stabilized projectileaerodynamic characteristicsnumerical methodsРабота выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект № 23-29-00244.This work was supported by the Russian Science Foundation, project no. 23-29-00244.ReferencesБоровков А. И., Рябов Ю. А., Марусева В. М. Новая парадигма цифрового проектирования и моделирования глобально конкурентоспособной продукции нового поколения // Цифровое производство: методы, экосистемы, технологии. Московская школа управления "Сколково", 2018. С. 24—44.Borovkov A. I., Ryabov Yu. A., Maruseva V. M. A new paradigm for digital design and simulation of globally competitive next-generation products, Digital production: methods, ecosystems, technologies, Moscow School of Management "Skolkovo", 2018, pp. 24—44 (in Russian).ГОСТ Р 57700.37—2021. Компьютерные модели и моделирование. Цифровые двойники изделий. Общие положения. М.: Российский институт стандартизации, 2021, 11 с.GOST R 57700.37—2021. Computer models and modeling. Digital twins of products. General provisions, Moscow, Russian Institute of Standardization, 2021, 11 p. (in Russian).ГОСТ 4401—81. Атмосфера стандартная. Параметры. (С изменениями от 1987 г.). М.: Изд-во стандартов, 2004. 180 с.GOST 4401—81. The atmosphere is standard. Options. (With changes from 1987), Moscow, Publishing house of standards, 2004, 180 p. (in Russian).Иванов И. И. Методы и приемы вычислений в вопросах геометрии масс и вращения твердого тела вокруг неподвижной оси: Монография. М.: АНО Издательский дом "Научное обозрение", 2017. 320 с.Ivanov I. I. Methods and techniques of calculations in the geometry of masses and rotation of a solid body around a fixed axis, Moscow, Publishing house "Scientific review", 2017, 320 p.Постников А. Г. Внешняя баллистика авиационных неуправляемых снарядов. М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 2003. 396 с.Postnikov A. G. External ballistics of aviation unguided projectiles, Moscow, Zhukovsky Air Force Engineering Academy, 2003, 396 p. (in Russian).Лысенко Л. Н. Внешняя баллистика. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. 328 с.Lysenko L. N. External ballistics, Moscow, Bauman Moscow State Technical University, 2018, 328 p. (in Russian).Tactical missile aerodynamics / Edited by Hemsch M. J., Nielsen J. N. New York: American Institute of Aeronautic and Astronautics (AIAA), Inc., 1986. 800 p.Tactical missile aerodynamics. / Edited by Hemsch M. J., Nielsen J. N., New York, American Institute of Aeronautic and Astronautics (AIAA), Inc., 1986, 800 p.Королёв С. А. Развитие подходов к решению проблем аэродинамики и устойчивости движения снарядов и неуправляемых ракет на основе математического моделирования: Дисс. на соиск. уч. ст. док. техн. наук. Ижевск: ИжГТУ им. М. Т. Калашникова, 2020. 282 с.Korolev S. A. Development of approaches to solving the problems of aerodynamics and stability of the movement of projectiles and rockets based on mathematical modeling, Doctoral thesis in Technology, Izhevsk, Kalashnikov Izhevsk State Technical University, 2020, 282 p. (in Russian).Лукошкин В. В., Миргазов М. Н. Математическое моделирование многомерных функциональных зависимостей аэродинамических характеристик летательных аппаратов на основе данных экспериментальных исследований в аэродинамических трубах // Сборник докладов VI Научной конференции Волжского регионального центра РАРАН "Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения". Саров: ФГУП "РФЯЦВНИИЭФ", 2010. Т. 1. С. 98—108.Lukoshkin V. V., Mirgazov M. N. Mathematical modeling of multi-dimensional functional dependences of the aerodynamic characteristics of aircraft based on data from experimental studies in wind tunnels, VI Scientific conference of the Volga regional center of Russian Academy of Rocket and Artillery Sciences (RARAN) "Modern methods of designing and testing rocket and artillery weapons". Collection of reports, Sarov, Federal State Unitary Enterprise "RFNC-VNIIEF", 2010, vol. 1, pp. 98—108 (in Russian).Хрулин С. В. Аппроксимация зависимостей коэффициентов аэродинамических сил от углов атаки и скольжения во всей области их определения. // Полет. 2016. № 4. С. 3—16.Khrulin S. V. Approximation of the dependences of the coefficients of aerodynamic forces on the angles of attack and slip in the entire region of their definition, All-russian scientific-technical journal "Flight", 2016, no. 4, pp. 3—16 (in Russian).Brebbia C. A., Motta A. A. Computational Ballistics III. Boston: WIT Press Southampton, 2007. 231 p.Brebbia C. A., Motta A. A. Computational Ballistics III, Boston, WIT Press Southampton, 2007, 231 p.Robert L. McCoy. Modern Exterior Ballistics. The Launch and Flight Dynamics of Symmetric Projectiles. Pennsylvania: Schiffer Publishing Ltd. Atglen, 2012. 328 p.Robert L. McCoy. Modern Exterior Ballistics. The Launch and Flight Dynamics of Symmetric Projectiles, Pennsylvania, Schiffer Publishing Ltd. Atglen, 2012, 328 p.Кобрин А. И., Окунев Ю. М., Садовничий В. А. Математическое моделирование пространственной задачи внешней баллистики динамически симметричного тела с высокими несущими свойствами // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4, № 3. С. 1—34.Kobrin A. I., Okunev Yu. M., Sadovnichiy V. A. Mathematical modeling of the spatial problem of external ballistics of a dynamically symmetrical body with high load-bearing properties, Fundamental and applied mathematics, 1998, vol. 4, no. 3, pp. 975—1008 (in Russian).Разработка теоретических и экспериментальных методов определения характеристик движения изделий БЩ размером 23 и 30 мм при их отработке с носителей и в наземных условиях. Отчет по НИР "Морс". М.: НПО "Полет" ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1992. 127 с.Development of theoretical and experimental methods for determining the characteristics of the movement of items of BS with a size of 23 and 30 mm during their development from carriers and in ground conditions, Report on the research work "Mors", Moscow, Scientific & Industrial Association "Flight", Zhukovsky Air Force Engineering Academy, 1992, 127 p. (in Russian).Хрулин С. В. Выбор переменных для формирования уравнений движения гиростабилизированных снарядов // Научно-технический сборник "Проблемы эксплуатации и восстановления авиационной техники". № 75. Люберцы: 13 ГНИИ МО РФ, 1997. С. 87—92.Khrulin S. V. The choice of variables for the formation of the equations of motion of gyro-stabilized projectiles, Scientific and technical collection "Problems of operation and restoration of aviation equipment", Lyubertsy, 13 State Research Institute Ministry Defense Russian Federation, 1997 , no. 75, pp. 87—92 (in Russian).Хрулин С. В. Нетрадиционные способы постановки начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений // XIX НТК "Проблемы технического обеспечения видов ВС и родов войск". Методические указания. Люберцы: 13 ГНИИ МО РФ, 1995. Вып. 6904. С. 143—145.Khrulin S. V. Non-traditional ways of setting initial conditions for ordinary differential equations, XIX scientific & technical conference "Technical support problems of the branches armed forces and branches service". Guidelines, Lyubertsy, 13 State Research Institute Ministry Defense Russian Federation, iss. 6904, 1995, pp. 143—145 (in Russian).Hairer Ernst, Nørsett Syvert P., Wanner Gerhard. Solving ordinary differential equations I. Nonstiff problems: Corr. 3-rd edition. Berlin: Springer-Verlag GmbH, 2009. 543 p.Hairer Ernst, N rsett Syvert P., Wanner Gerhard. Solving ordinary differential equations I. Nonstiff problems, Berlin, Springer-Verlag GmbH, 2009, 543 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.