В. И. Краснощеченко, канд. техн. наук, доцент,
Калуга.
Krasnoschechenko Vladimir I., PhD, Associate Professor.
Рассматриваются вопросы декомпозиции нелинейных дифференциальных уравнений на основе теоретико-группового подхода. Вначале представлена декомпозиция дифференциальных уравнений линейных систем с использованием переходной матрицы состояния, а затем на основе теории непрерывных групп (групп Ли) показан процесс декомпозиции дифференциальных уравнений нелинейных систем. В основе подхода к декомпозиции лежит теорема об изоморфизме пространства векторных полей и дифференцирований Ли, которая позволяет рассматривать векторные поля как дифференциальные операторы гладких функций. Выводится формула о присоединенном представлении группы Ли в ее алгебре Ли, что фактически определяет нахождение векторного поля, которое характеризует взаимодействие двух и более векторных полей. Алгебра Ли дифференцирований дает возможность определить инфинитезимальное действие группы Ли, т. е. осуществляется линеаризация этого действия (преобразование точек пространства траектории исходной системы в малой окрестности). Декомпозиция позволяет, как и в линейном случае, отделить нахождение действия (только локально) группы преобразований от самих преобразуемых точек. Для линейных систем это разделение глобальное. Также показано, что декомпозиция линейных уравнений является частным случаем декомпозиции нелинейных уравнений. Представлен алгоритм метода модельного прогнозируемого управления с грамиановзвешиванием, использующий данную декомпозицию. Рассмотрен практический пример декомпозиции и применения метода модельного прогнозируемого управления для стабилизации нестационарной нелинейной системы.
The article deals with the decomposition of nonlinear differential equations based on the group-theoretic approach. At the beginning, the decomposition of differential equations of linear systems using a transition matrix of state is presented, and then, based on the theory of continuous groups (Lie groups), the process of decomposition of differential equations of nonlinear systems is shown. The decomposition approach is based on the isomorphism theorem of the space of vector fields and Lie derivatives, which allows us to consider vector fields as differential operators of smooth functions. A formula is derived about the adjoin representation of a Lie group in its Lie algebra, which actually determines the finding of a vector field that characterizes the interaction of two or more vector fields. The Lie algebra of derivatives makes it possible to determine the infinitesimal action of the Lie group, i.e. the linearization of this action is carried out (transformation of the points of the trajectory space of the original system in a small neighborhood). Decomposition allows, as in the linear case, to separate the finding of an action (only locally) of a group of transformations from the transformed points themselves. For linear systems, this separation is global. It is also shown that the decomposition of linear equations is a particular case of the decomposition of nonlinear equations. An algorithm of the method of model predictive control with Gramian weighting using this decomposition is presented. A practical example of decomposition and application of the model predictive control for stabilization of a nonstationary nonlinear system is considered.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.