канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр.
г. Санкт-Петербург
St. Petersburg, 199178
Изучение динамики сложных сетевых систем является одной из актуальных задач. Сетевые системы могут пребывать в различных состояниях, начиная от полной синхронизации, когда все системы в сети ведут себя согласованно, заканчивая полной десинхронизацией, т. е. полной рассогласованностью в функционировании систем. Явление синхронизации уже изучено достаточно хорошо: введены математические определения синхронизации, предложены алгоритмы исследования синхронизации, получены условия синхронизации для различных типов сетевых систем. Однако не так много работ на текущий момент посвящено исследованию десинхронизации. В данной работе вводится определение десинхронизации по выходу для сетей из нелинейных систем. Рассматриваются определения колебательности по Якубовичу, и устанавливается связь между колебательностью и десинхронизацией в сетях из возбудимых нелинейных систем. Возбудимые системы являются устойчивыми, поэтому колебания в них отсутствуют. Добавление связей между такими системами может привести к возникновению колебаний. Выводятся условия колебательности для диффузионно-связанных сетей из простейших моделей нейронов ФитцХью—Нагумо. Сначала рассматривается случай простейший сети из двух связанных систем ФитцХью—Нагумо, а затем результат обобщается на случай из нескольких систем. Спектр матрицы Лапласа играет ключевую роль в динамике таких сетей. Получено условие, связывающее параметры единичной системы, входящей в сеть, и собственные числа матрицы Лапласа, которое устанавливает, будет ли сеть колебательной или нет. Число систем, которые будут генерировать колебания в такой сети, зависит от числа собственных чисел матрицы Лапласа, удовлетворяющих полученным условиям. Полученные аналитические результаты подтверждаются проведенным численным моделированием. Приводятся результаты моделирования полной десинхронизации в сети, когда все системы начинают колебаться, а также химероподобного состояния, при котором колеблется лишь часть систем, а остальные находятся в покое.
Study of dynamics of complex networked systems is one of the relevant problems. Networked systems can be in various states, ranging from complete synchronization, when all systems in the network are coherent, to complete desynchronization, i.e. complete incoherence in the functioning of systems. Synchronization phenomenon has already been well studied, namely, the mathematical definitions of synchronization are introduced, algorithms of studying synchronization are proposed, and synchronization conditions of various types of networked systems are established. Whereas a few works are devoted to the study of desynchronization nowadays. This paper introduces output desynchronization notion for networks of nonlinear systems. The definitions about Yakubovich oscillatority are considered and the link between oscillatority and desynchronization in networks of excitable nonlinear systems is established. Excitable systems are stable; therefore, they do not generate oscillations. Adding couplings between such systems can lead to occurrence of oscillations. The conditions about oscillatority in diffusively coupled networks of FitzHugh-Nagumo systems, which are the simplest neuron models, are derived. Firstly, the case of the simplest network of two coupled systems is considered, and afterwards, obtained result is generalized for the case of several systems. Laplace matrix spectrum plays crucial role in dynamics of such networks. The condition that connects the parameters of the uncoupled system in the network and the eigenvalues of the Laplace matrix, is obtained which determines whether the network is oscillatory or not. The number of systems that generate oscillations in such a network depends on the number of eigenvalues of the Laplace matrix that satisfy the obtained conditions. Obtained analytical results are confirmed by simulation. The results of simulation of complete desynchronization in the network, when all systems begin to oscillate, as well as a chimera-like state, in which only a part of the systems oscillates, while the other part are rest, are presented.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.