novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.24.227-239novtexmech-1369Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, CONTROL AND INFORMATION PROCESSINGСинтез динамических регуляторов по выходу с использованием функций модальной кластеризации в D-областяхSynthesis of Dynamic Output Feedback Controller Using Functions of Matrix Root-Clustering in D-RegionsКраснощеченкоВ. И.KrasnoschechenkoV. I.

В. И. Краснощеченко, канд. техн. наук, доц.

248000, Калуга

Krasnoschechenko Vladimir I., PhD, Associate Professor

Kaluga, 248000

v.krasnoschechenko@yandex.ruКалужский филиал Московского государственного технического университета им. Н. Э. БауманаРоссияBauman Moscow State Technical University, Kaluga BranchRussian Federation202306052023245227239Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20232023Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/1369

Рассматривается алгоритм синтеза динамических регуляторов по выходу (модальных регуляторов), где моды замкнутой системы управления должны располагаться в заданной области (D-области) комплексной плоскости. Основное направление исследования — синтезировать динамические регуляторы минимального порядка, когда полная модальная управляемость по выходу отсутствует. Делается краткий экскурс во внешнюю алгебру Грассманна с целью определить внешнее произведение векторов, на основании чего поясняется операция биальтернированного произведения матриц. Использование биальтернированного произведения матриц позволило ввести функции модальной кластеризации комплексных мод, располагаемых в отдельных трансформируемых D-областях. Для обычного произведения матриц вводятся функции модальной кластеризации вещественных мод, располагаемых в отдельных трансформируемых D-областях. Функции модальной кластеризации преобразуют (трансформируют), соответственно, комплексные или вещественные точки данной ограниченной или неограниченной D-области комплексной плоскости в левую полуплоскость. В статье рассмотрены основные D-области, наиболее широко используемые на практике (диск, конус, степень устойчивости), представлены их матричные функции и функции модальной кластеризации вещественных и комплексных мод. Разработан алгоритм параметрической оптимизации динамических модальных регуляторов по D-областям. Рассмотрены практические примеры синтеза. Для объекта четвертого порядка (двухмассовая слабо демпфированная система с двумя интеграторами и параметрической неопределенностью) синтезирован динамический регулятор второго порядка, обеспечивающий робастное качество.

This article considers an algorithm for the synthesis of dynamic output controller, where the eigenvalues of a closed control system should be located in a given region (D-region) of the complex plane. The main direction of the research is to synthesize dynamic controllers of minimal order when there is no complete controllability at the output. For this purpose, a brief excursion into the external Grassmann algebra is made with the purpose of determining the external product of vectors, on the basis of which the operation of the bialternate product of matrices is explained. The use of the bialternate product of matrices made it possible to introduce the functions of matrix root-clustering of complex eigenvalues located in separate transformable D-regions. For the usual product of matrices, the functions of matrix root-clustering of real eigenvalues located in separate transformable D-domains are introduced. The functions of matrix root-clustering are transforming, respectively, complex or real points of a given bounded or unbounded D-region of the complex plane into a left half-plane. The article considers the main D-domains most widely used in practice (disk, cone, stability margin), presents their matrix root-clustering and functions of matrix root-clustering of real and complex modes. An algorithm for parametric optimization of dynamic output feedback controller over D-domains has been developed. Practical examples of synthesis are considered. For a fourth-order object (a two-mass weakly damped system with two integrators and parametric uncertainty), a secondorder dynamic controller providing robust quality has been synthesized.

биальтернированное произведение матрицдинамический модальный регулятор по выходуфункции модальной кластеризацииD-областипараметрическая оптимизацияBialternate productdynamic output feedback controllerfunctions of matrix root-clusteringD-regionsparametric optimizationReferencesWonham M. On pole assignment in multi-input, controllable linear system // IEEE Trans. Automatic Control. 1967. Vol. 12, N. 12. P. 660—665.Wonham M. On pole assignment in multi-input, controllable linear system, IEEE Trans. Automatic Control, 1967, vol. 12, no. 12, pp. 660—665.Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.Andreev Yu. N. Control of finite-dimensional linear plants, Moscow, Nauka, 1976, 424 p. (in Russian).Willems J. C., Hesselink W. H. Generic properties of the pole placement problem // Proceedings of the 7th IFAC Congress, Helsinki Finland. 1978. P. 1725—1729.Willems J. C., Hesselink W. H. Generic properties of the pole placement problem, Proceedings of the 7th IFAC Congress, Helsinki Finland, 1978, pp. 1725—1729.Yang K., Orsi R. Static output feedback pole placement via a trust region approach // IEEE Trans. Automatic Control. 2007. Vol. 52, N. 11.P. 2146—2150.Yang K., Orsi R. Static output feedback pole placement via a trust region approach, IEEE Trans. Automatic Control, 2007, vol. 52, no. 11, pp. 2146—2150.Furuta K., Kim B. Pole placement to a specified disc // IEEE Trans. Automatic Control. 1987. Vol. 32, N. 5. P. 423—427.Furuta K., Kim B. Pole placement to a specified disc, IEEE Trans. Automatic Control, 1987, vol. 32, no. 5, pp. 423—427.Brash F. M., Pearson J. B. Pole placement using dynamic compensator // IEEE Trans. Automatic Control. 1970. Vol. AC-15, N. 1. P. 34—43.Brash F. M., Pearson J. B. Pole placement using dynamic compensator, IEEE Trans. Automatic Control, 1970, vol. AC-15, no. 1, pp. 34—43.Rosenthal J., Wang X. A. Output feedback pole placement with dynamic compensators/ Report BS-R9516, ISSN 0924-0659. 1995. Amsterdam. 29 p.Rosenthal J., Wang X. A. Output feedback pole placement with dynamic compensators, Report BS-R9516, ISSN 0924-0659, 1995, Amsterdam, 29 p.Haddad W. M., Bernstein D. S. Controller design with regional pole constraints // IEEE Trans. Automatic Control. 1992. Vol. 37, N. 1. P. 54—69.Haddad W. M., Bernstein D. S. Controller design with regional pole constraints, IEEE Trans. Automatic Control, 1992, vol. 37, no. 1, pp. 54—69.Gutman S., Jury E. J. A general theory for matrix rootclustering in subregions of the complex plane // IEEE Trans. Automatic Control. 1981. Vol. 26, N. 4. P. 853—863.Gutman S., Jury E. J. A general theory for matrix rootclustering in subregions of the complex plane, IEEE Trans. Automatic Control, 1981, vol. 26, no. 4, pp. 853—863.Gutman S., Schwartz G. A root-clustering theorem // IEEE Trans. Automatic Control. 1981. Vol. 26, N. 4. P. 940.Gutman S., Schwartz G. A root-clustering theorem, IEEE Trans. Automatic Control, 1981, vol. 26, no. 4, pp. 940.Dengqing C. Stability robustness measures of linear ststespace models with structured perturbations // Systems Science and Math. Sciences. 1998. Vol. 11, N. 1. P.32—38.Dengqing C. Stability robustness measures of linear ststespace models with structured perturbations, Systems Science and Math. Sciences, 1998, vol. 11, no. 1, pp. 32—38.Saydy L., Tits A. L., Abed E. H. Guardian maps and generalized stability of parametrized families of matrices and polynomials // Mathematics of control, signals and systems. 1990. Vol. 3. P. 345—371.Saydy L., Tits A. L., Abed E. H. Guardian maps and generalized stability of parametrized families of matrices and polynomials, Mathematics of control, signals and systems, 1990, vol. 3, pp. 345—371.Saussie D., Akhrif Q., Berard C., Saydy L. Longitudinal flight control synthesis with guardian maps// AIAA Guidance, Navigation and Control Conference. 10-13 August 2009, Chicago Illinois. P. 1—27.Saussie D., Akhrif Q., Berard C., Saydy L. Longitudinal flight control synthesis with guardian maps, AIAA Guidance, Navigation and Control Conference, 10—13 August 2009, Chicago Illinois, pp. 1—27.Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука. 1970. 528 с.Efimov N. V., Rosendorn E. R. Linear algebra and multidimensional geometry, Moscow, Nauka, 1970, 528 p. (in Russian).Stephanos C. Sur une extension du calcul des substitutions lineaires // J. Math.Pures Appl. 1900. Vol.6. P. 73—128.Stephanos C. Sur une extension du calcul des substitutions lineaires, J. Math.Pures Appl., 1900, vol. 6, pp. 73—128.Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем / Пер. с англ. М.: Наука, 1979. 304 с.Jury E. I. Inners and stability of dynamic systems, Moscow, Nauka, 1979, 304 p. (in Russian).Farin G., Hansford D. Practical linear algebra: a geometry toolbox. AK Peters Wellesley Massachusetts, 2005. 384 p.Farin G., Hansford D. Practical linear algebra: a geometry toolbox, AK Peters Wellesley Massachusetts, 2005, 384 p.Gutman S. Root clustering of a real matrix in an algebraic region // Int. J. Control. 1979. Vol. 29. P. 871—880.Gutman S. Root clustering of a real matrix in an algebraic region, Int. J. Control, 1979, vol. 29, pp. 871—880.Anderson D. O., Bose N. K., Jury E. I. Output feedback stabilization and related problems — solution via decision methods // IEEE Trans. Automatic Control. 1975. Vol. 20, N. 1. P. 53—66.Anderson D. O., Bose N. K., Jury E. I. Output feedback stabilization and related problems — solution via decision methods, IEEE Trans. Automatic Control, 1975, vol. 20, no. 1, pp. 53—66.Краснощеченко В. И. Синтез робастного динамического H∞-регулятора низкого порядка с использованием линейных матричных неравенств и проекционных лемм // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т. 19, № 4. С.219—230.Krasnoschechenko V. I. Synthesis H∞-robust regulator of the low order by using of linear matrix inequalities and projective lemmas, Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2018, vol. 19, no 4, pp. 219—230 (In Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.