novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.23.339-350novtexmech-1213Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, CONTROL AND INFORMATION PROCESSINGИдентифицируемость и обнаруживаемость показателей Ляпунова линейных динамических системIdentifi ability and Detectability of Lyapunov Exponents for Linear Dynamical SystemsКарабутовН. Н.KarabutovN. N.

Д-р техн. наук, проф.

г. Москва

Karabutov Nikolay N., DTS, Professor

Moscow

kn22@yandex.ruМИРЭА - Российский технологический университетРоссияMIREA - Russian Technological UniversityRussian Federation202206072022237339350Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20222022Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/1213

Характеристические показатели Ляпунова являются одним из действенных инструментов анализа качественных характеристик динамических систем. Вопросы идентифицируемости, восстанавливаемости и обнаруживаемости характеристических показателей Ляпунова не рассматривались. Эта проблема является актуальной. В работе предложен подход для проверки указанных характеристик линейной динамической системы при оценке характеристических показателей. Он основан на анализе геометрических структур, зависящих от коэффициента структурности системы. Коэффициент структурности отражает изменение характеристических показателей Ляпунова, а геометрические структуры позволяют принять решение о типе показателей. Получены условия полностью обнаруживаемых показателей Ляпунова, что соответствует определению полного множества показателей, а также σ-обнаруживаемости с уровнем υ-невосстанавливаемости, если система содержит невосстанавливаемые линеалы. Предложен способ проверки адекватности получаемого множества характеристических показателей Ляпунова. Получена допустимая граница подвижности старшего показателя Ляпунова.

Lyapunov exponents (LE) are an effective tool for analyzing the qualitative characteristics of dynamic systems. Identifiability, recoverability and detectability problem of Lyapunov exponents not studied. This problem is actual. We propose an approach for verifying identifiability, recoverability and detectability. The approach bases on the analysis of geometric frameworks depending on the structural properties coefficient of the system. The structural properties coefficient reflects the change in Lyapunov exponents, and geometric frameworks are a source for deciding on the type of indicators. We obtain conditions for the complete detectability of Lyapunov exponents. These conditions guarantee the receipt of indicators set. We propose a criterion of σ-detectability with a level of υ-non-recoverability and give a method to evaluate it. We propose the method for verifying the adequacy of the Lyapunov exponents set. The permissible mobility border of the largest Lyapunov exponent obtains.

динамическая системахарактеристический показатель Ляпуноваидентифицируемостьвосстанавливаемостьобнаруживаемостьлинеалпочти периодическая функцияроботструктуракоэффициент структурностиdynamic systemLyapunov exponentidentifiabilityrecoverabilitydetectabilitylinealalmost periodic functionrobotstructurestructural properties coefficientReferencesThamilmaran K., Senthilkumar D. V., Venkatesan A., Lakshmanan M. // Experimental realization of strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced electronic circuit. E. 2006. Vol. 74, N. 9. 036205.Thamilmaran K., Senthilkumar D. V., Venkatesan A., Lakshmanan M. Experimental realization of strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced electronic circuit, Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys, 2006, vol. 74(3 Pt 2):036205.Porcher R., Thomas G. Estimating Lyapunov exponents in biomedical time series // Physical Review E. 2001. Vol. 64, N. 1. 010902(R).Porcher R., Thomas G. Estimating Lyapunov exponents in biomedical time series, Physical Review E, 2001, vol. 64, no. 1, 010902(R).Hołyst J. A., Urbanowicz K. Chaos control in economical model by time-delayed feedback method // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2000. Vol. 287, Iss. 3—4. P. 587—598.Hołyst J. A., Urbanowicz K. Chaos control in economical model by time-delayed feedback method, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2000, vol. 287, iss. 3—4, pp. 587—598.Macek W. M., Redaelli S. Estimation of the entropy of the solar wind flow // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62, N. 5. P. 6496—6504.Macek W. M., Redaelli S. Estimation of the entropy of the solar wind flow, Phys. Rev. E, 2000, vol. 62, no. 5, pp. 6496—6504.Skokos Ch. The Lyapunov Characteristic Exponents and Their Computation // Lect. Notes Phys. 2010. Vol. 790. P. 63—135.Skokos Ch. The Lyapunov Characteristic Exponents and Their Computation, Lect. Notes Phys., 2010, vol. 790, pp. 63—135.Gencay R., Dechert W. D. An algorithm for the n Lyapunov exponents of an n-dimensional unknown dynamical system // Physica D 59. 1992. P. 142—157. North-Holland.Gencay R., Dechert W. D. An algorithm for the n Lyapunov exponents of an n-dimensional unknown dynamical system, Physica D59, 1992, pp. 142—157.Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Phys. D Nonlinear Phenomena. 1985. Vol.16, N. 3. P. 285—317. doi: 10.1016/0167-2789(85)90011-9.Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Va stano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series, Phys. D Nonlinear Pheno mena, 1985, vol.16, no. 3, pp. 285—317, doi: 10.1016/0167-2789(85)90011-9.Sano M., Sawada Y. Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55, N. 10. P. 1082—1085.Sano M., Sawada Y. Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series, Phys. Rev. Le tt, 1985, vol. 55, no. 10, pp. 1082—1085.Rosenstein M. T., Collins J. J., De Luca C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Phys. 1993. Vol.65, N. 1—2. P. 117—134.Rosenstein M. T., Collins J. J., De Luca C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets, Physica D65, 1993, vol. 65, no. 1—2, pp. 117—134.Balcerzak M., Pikunov D., Dabrowski A. The fastest, simplified method of Lyapunov exponents spectrum estimation for continuous-time dynamical systems // Nonlinear Dyn. 2018. Vol. 94. P. 3053—3065.Balcerzak M., Pikunov D., Dabrowski A. The fastest, simplified method of Lyapunov exponents spectrum estimation for continuous-time dynamical systems, Nonlinear Dyn., 2018, vol. 94, pp. 3053—3065.Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. Springer, Coventry, England, 1981.Takens F. Detecting strange attractors in turbulence, Springer, Coventry, England, 1981. Semerikov S. Lyapunov exponents as indicators of the stock market crashes, 2020, available at: http://ds.knu.edu.ua/jspui/handle/123456789/3080.Soloviev V., Bielinskyi A., Serdyuk O., Solovieva V., Semerikov S. Lyapunov exponents as indicators of the stock market cra shes. 2020. URL: http://ds.knu.edu.ua/jspui/handle/123456789/3080.Soloviev V., Bielinskyi A., Serdyuk O., Solovieva V., Semerikov S. Lyapunov exponents as indicators of the stock market crashes, 2020, available at: http://ds.knu.edu.ua/jspui/handle/123456789/3080.Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов Н. X. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. № 2. С. 268—273.Glyzin D. S., Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor, Differential Equations, 2005, vol. 41, pp. 284—289.Karabutov N. Structural methods of estimation Lyapunov exponents linear dynamic system // International journal of intelligent systems and applications. 2015. Vol. 7, N. 10. P.1—11.Karabutov N. Structural methods of estimation Lyapunov exponents linear dynamic system, International journal of intelligent systems and applications, 2015, vol. 7, no. 10, pp.1-11.Карабутов Н. Н. Структуры в задачах идентификации: Построение и анализ. М.: Ленанд, 2018. 312 с.Karabutov N. N. Frameworks in identification problems: Construction and analysis, Moscow, Lenand, 2018, 312 p.Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977, 650 с.Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal control systems, Wilev-Interscience, A division of John wiley & SONS, INC, New York, 1972, 576 p.Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Государственное изд-во технико-теоретической литературы, 1950. 471 с.Lyapunov A. M. General Problem of the Stability of Motion, Taylor & Francis, London, Washington, DC, 1992.Изобов Н. А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск: БГУ, 2006. 319 с.Izobov N. A. Introduction in theory of Lyapunov indexes, Minsk BGU, 2006, 319 p.Карабутов Н. Н. Структурная идентификация систем: анализ информационных структур. М.: УРСС/ Книжный дом "Либроком", 2009. 176 с.Karabutov N. N. Structural Identification of Systems. Analysis of Information Structures, Moscow, URSS/ Librokom, 2009, 176 p.Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 с.Bylov B. F., Vinograd R. E., Grobman D. M. , Nemytsky V. V. Theory of Lyapunov indexes and its application to stability problems, Moscow, Nauka, 1966, 576 p.Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.Demidovich B. P. Lektion on mathematical stability, Moscow, Nauka, 1967, 472 p.Karabutov N. About Lyapunov exponents identification for systems with periodic coefficients // International journal of intelligent systems and applications. 2018. Vol. 10, N. 11. P.1—10.Karabutov N. About Lyapunov exponents identification for systems with periodic coefficients, International journal of intelligent systems and applications, 2018, vol. 10, no. 11, pp.1—10.Veluvolu K., Soh Y. Fault reconstruction and state estimation with sliding mode observers for lipschitz non-linear systems // IET Control Theory & Applications. 2011. Vol. 5(11). P. 1255—1263.Veluvolu K., Soh Y. Fault reconstruction and state estimation with sliding mode observers for lipschitz non-linear systems, IET Control Theory & Applications, 2011, vol. 5(11), pp. 1255—1263.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.